测圆海镜卷八

    元　李冶　撰

    明叀后一十六问

    或问出南门向东有槐树一株出东门向南有柳树一株丙丁俱出南门丙直行丁往至槐树下甲乙俱出东门甲直行乙往至柳树下四人遥相望见各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立处相距二百八十九步问答同前

    法曰以二共相减数又以减距数为实二为法得平勾

    草曰识别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即极?也二共相并即极?内少个虚黄也又为极和内少个虚和也二共相减余为平勾髙股差也又为虚差极差共也又为通差内减极差也立天元为平勾加入二共相减数得□□为髙?又加天元得□□为极?【寄左】以相距步二百八十九与左相消得□□上法下实如法得六十四即平勾也以二共相减数加平匀得二百二十五为髙股复以平勾乘之得一万四千四百步开平方得一百二十步即城半径也合问

    又法二共数并以减相距数余者半为泛率以泛率加丙丁共为长以泛率加甲乙共为阔长阔相乘为平方实得半径

    草曰置极?内减二共并数余三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步为髙股也下以加叀和得六十四步为平勾也二位相乘得一万四千四百步开平方得一百二十步即半径也合问

    或问依前见丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二树相去一百二步问答同前

    法曰以甲乙共乘树相去步得数又以自之为平实从空并二共数为幂于上内减甲乙共自之数丙丁共自之数【按或云二共数相乘倍之亦同】为益隅得叀?

    草曰识别得两树相去步即虚?也余数具前立天元一为叀?置明和以天元乘之合叀和除不除便以□为明?也【内带□和分母】乃置虚?以分母叀和乘之得□加入明?得□□为极股也内带叀和分母以自之得下式□□□为极股幂【内寄叀和羃为分母】又以天元加虚?得□□为极勾以自之得丨□□又以叀和幂□乘之得□□□为勾幂也勾股相并得□□□为两积一较幂也内有叀和幂分母【寄左】然后置明?□于上以叀和乘天元得□加上位得□为二?并又置虚?以叀和乘之得□并入上位得下式□□为极?以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十四步即叀?也

    又法以树相去步自之又以甲乙共乘之为平实从空倍丙丁共为虚隅得叀?

    草曰立天元一为叀?依前术求得明?□便以为皇极勾?差也【内带叀和分母】以天元□?便为皇极股?差以乘之又倍之得□□为虚?幂【内有叀和分母寄左】然后以虚?自之又以分母□乘之得四十七万八千五百八十四为同数与左相消得□○□开平方得三十四步即叀?也合问

    或问皇极大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步问答同前

    法曰后数自乘为实前后数相减余为法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二?共也其六十六即太虚大小差共也又二数相并得□即明叀二和共若以相减余□即明叀四差共也立天元一为太虚黄方面加二黄共得□□即虚?也倍虚?又加天元得□□即城径也又以虚?加皇极大小差得□□即极?也以极?乘城径得□□□为两段皇极勾股积【寄左】再以极?虚?相并得□□即皇极勾股共也自之得□□□内减皇极?幂丨□□得□□□为同数与寄左相消得□□上法下实如法得三十六步即太虚黄方靣也合问

    或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出东门直行甲丙槐柳悉与城防相直既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下问答同前

    法曰云数相乘倍之便为平方实开方得虚?一百二步以此?加甲行步即极勾以此?加丙行步即极股余各依法求之　识别甲斜行即叀?也丙斜行即明?也　无草

    或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐栁与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云丙共行了二百八十八步甲斜行与柳至东门步共得六十四步问答同前

    法曰二云数相乘于上以六十四步自之又二之减上位为平实十四之六十四于上倍丙行减上位为从【按倍丙行乃数偶合当云九个半六十四内减丙行为从】二十常法得甲直行步

    草曰别得丙共步即明股明?和也六十四即平勾也内甲斜行即叀?也柳至东门步即叀股也又云二数相并即明差与极?共也二云数相减即明差与平勾髙股差共也又平勾内减叀勾即虚勾也立天元一为叀勾置丙共步以天元乘之复以六十四除之得□□呔为明勾也又以天元减于六十四得□□为虚勾也并虚明二勾□□为半径也以自之得□□□□倍之得□□□□为半段圆城径幂【寄左】乃以天元加六十四得□□为勾圆差于上又以明勾加丙共步得□□□为股圆差于下上下相乘得□□□□为同数与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出东门直行步也余皆依数求　合问

    或问东门南有柳树一株南门东有槐树一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云甲共行五十步丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步问答同前

    法曰以二百二十五步自之为幂又以此幂自为幂于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得数复折半减上位为平实置二百二十五步自之数以二云数相减数乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之数乘之复折半加上位为益从云数相减自乘于上以云数相乘复折半减上位为常法得明股

    草曰识别得甲共步即叀勾叀?共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明?槐至南门步即明勾也又二云数相并即极?内减一个叀差也云数相减即叀差与髙股平勾差共也又髙股内减明股即虚股也立天元一为明股即丙出南门直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□为叀股也内带髙股□分母再置髙股内减天元得□□为虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半径也以自增乘得下□□□为半径幂也内带髙股幂为母【寄左】然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□为勾圆差于上【内带髙股分母】又以天元加髙股得□□为股圆差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□复折半得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百三十五步即明股也合问

    或问通勾通?共一千步叀勾叀?共五十步问答同前

    法曰置一千减二之五十步为泛率以自乘复半之于上又置泛率复以五十乘之加上位为平实二十二之泛率于上【按二十二乃此题叀和除通和所得通倍叀数加二数之数易题则数不同矣当直云通倍叀数加二数乘泛率】以四十二【按四十二乃此题倍通倍叀数加二数之数当直云倍通倍叀数加二数】乘五十得数内减泛率加上位为益从二百【按二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半于上又倍通倍叀数并二数以减上位之数当同上不必载数】为常法得叀股

    草曰立天元一为叀股置一千以天元乘之以五十除之得□为通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通?也以通?减一千得□□即通勾也以小差减通勾得□□即圆径也以圆径减通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然后置圆径以自之得□□□折半得□□□与左相消得□□□开平方得三十步即叀股也合问

    按此题通勾?和为叀勾?和度尽之数则不用寄分而用除法以从省便作者盖举一以例其余也

    或问通勾通?共一千步明勾明?共二百二十五步问答同前

    法曰以后数再自乘又以前数乘之为平实以后数为幂又以前数乘之为从以前数幂为常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一为明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□为通股【内带髙股为母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即带分大差也以此减于通股余□□即圆径也以自增乘得□□□寄左【内?髙股幂分母】然后置一千以髙股分母通之得□内减带分大差得□□为两个通勾也内减两个圆径得□□为两个小差也以带分大差乘之得下式□□□为同数与左相消得□□开平方得一百三十五步即明股也合问

    或问通股通?共一千二百八十步叀股叀?共六十四步问答同前

    法曰云数相乘为平实前数为益从置前数以后数除之得二十为泛率泛率减一以自乘于上又倍泛率减一加上位为常法倒积开得叀勾

    草曰别得六十四步即平勾也立天元一为叀勾置前数以天元乘之以后数除之得□即通勾也又置天元加后数得□□即小差也以小差减通勾余□□即圆径也以自之得□□□【寄左】然后以小差减于前数得□□为二通股内减两个圆径得□□为二大差也以小差乘之得下□□□与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也合问

    或问通股通?共一千二百八十步明股明?共二百八十八步问答同前

    法曰二数相减以后数乘之内减后数幂又半之为泛率以自乘为平实【按或云前数内减... -->>
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