测圆海镜卷七

    元　李冶　撰

    明□前一十八问

    或问出南门东行七十二步有树出东门南行三十步见之问答同前

    法曰倍南行以乘倍东行为平实并二行又倍之为从一虚隅得城径

    草曰识别得此问名为?外容圆又为内率求虚积其二行步相并为虚?若以相减即虚较也又倍东行为?较和倍南行即?较较此二数相乘则两虚积也若直以二行相乘则半个虚积也又倍东行减于城径余即二虚勾也倍南行减于城径则二虚股也虚积上三事和即城径也乃立天元一为圆径便以为三事和也倍二行步减之得□□为黄方一天元乘之得□□为二虚积【寄左】然后倍东行以乗倍南行得八千六百四十为同数与左相消得丨□□益积开平方得二百四十步即城径也合问

    又法二行步相乘为实二行步相并为从一步虚法得半径

    草曰立天元一为半径副置二位上加东行步得□□为大差勾下加□股得□□为小差股此二数相乘得下式丨□□为半段黄方幂【寄左】然后立天元以自之又二之与左相消得丨□□益积开平方得一百二十步即半城径也

    又法二云数相乘倍之于上加云数差幂权寄并二云数又自增乗得数内减上位为平实并云数而倍之为从二步益隅得半径

    草曰立天元一为半径副之上减明勾得下□□为虚勾下减□股得□□为虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差幂□得□□□为?幂【寄左】然后并云步以自之得□为同数与左相消得□□□益积开平方得一百二十步即半城径也

    又法云数相乘又倍之为平实云数相减为从一常法得虚勾

    草曰立天元一为虚勾以南行减东行余四十二步为虚较也以虚较加天元得丨□为虚股以天元乘之得下丨□为直积【寄左】然后倍南行乘东行得□与左相消得丨□□开平方得四十八步即虚勾也以勾除积得九十步即虚股也并勾股得□为虚和也内加入二行并□得□即圆径也

    又法并两行步以自乘于上又倍南行乘倍东行加上位为平实一隅法得小和

    草曰立天元一为小和并二行步加之得□□为三事和也倍二行步而并之得□以减三事和余□□为黄方却以三事和乘之得下丨□□为二虚积也【寄左】乃倍南行以乘倍东行得□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城径也合问

    或问丙出南门直行一百三十五步而立甲出东门直行一十六步见之问答同前

    法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六万零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙行幂一万八千二百二十五得二十九万一千六百以乘上位得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之数得一百六亿二千八百八十二万为益从第一亷空以甲行乘丙行幂得二十九万一千六百又倍之得五十八万三千二百于上四之甲行幂一千零二十四以乘丙行步得一十三万八千二百四十减上位余四十四万四千九百六十为第二亷二行步相乘得二千一百六十为虚常法得丙行步上勾?差八十一

    按法中载数自此始亦择其数繁者详之使人易晓也

    草曰识得二数相并以减于皇极?余即虚勾虚股并也若以二数相减余为髙?内减平?又为皇极?内少个小差?又为大差?内减个皇极?也立天元一为丙行大差数置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□为勾?并也上减天元得□□□为二丙勾也复用丙南行乘之得□□□为二积也又以天元除之得□□○□为丙勾外容圆径【泛寄】别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此为甲股【内寄二丙勾为分母】复用二甲勾三十二乘之得□为二个甲直积也又置丙南行内减天元得□□为黄方以自乘得丨□□为丙上勾?差乘股?差二段以天元除之得□□□为两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□复用丙南行除之得□□□又折半得□□□为一个甲步股?差也内亦带前二丙勾分母复置二个甲直积内已寄此甲股?差分母便为甲步股外容圆径【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之数】用甲股?差分母乘之得□□○□□为同数与左相消得下式□□○□□开三乗方得八十一步即丙步上勾?差也钤经载此法以勾?差率幂减丙行差幂复以丙行乘之为实以差率幂为法如法得径此法只是以勾外求容圆半合以大差除陪积而今皆以大差幂为分母也依法求之勾?差八十一自之得六千五百六十一以减于丙行幂一万八千二百二十五余一万一千六百六十四复以丙行一百三十五乘之得一百五十七万四千六百四十为实以大差幂六千五百六十一为法如法得二百四十步即城径也

    又法二行相乘得数又自之为三乘方实并二行步以乗二行相乘数又倍之为从二行相并数以自乘于上又二行相减数自乗减上位为第一亷第二亷空一益隅益积开之得半径【其第一亷只是四段二行相乗数】

    草曰立天元一为半城径副置之上加南行步得□□为股下位加东行步得□□为勾勾股相乘得丨□□为直积一段以天元除之得丨□□为?以自之得丨□□□□为?幂【寄左】乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相并得□□□为同数与左相消得丨○□□□益积开三乘方得一百二十步即半城径也

    又法条段同前

    草曰以前求得勾股率置出南门步为小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄为母便以此为半梯头于上又置南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄为母便以此为梯底以乘上位得□□□□为半径自乘数内带股率幂为母【寄左】然后置天元以自之又以股率幂乘之得下丨□□□为同数与左相消得数一如前答

    又法以二行差幂数自乗又倍之为实并二行步以乘二行差幂又四之为益从四段南行幂内减二段差幂于上又二段差幂内减四段东行幂余以减上位【按并二行幂减二行差幂四因之亦同】为第一亷四之二行共为第二亷二步虚法益积开之得皇极?二百八十九草曰立天元一为皇极?以自之为?幂于上以二行步相减余□以自之得□为较幂以减上得丨□□为二直积复以天元除之得□○□为一个城径也副置之上位加二之东行步得□□□为二勾也以自增乘得丨□□□□为四段勾幂于上下位加二之南行得□□□为二股也以自增乘得丨□□□□为四段股幂也并入上位得下式□□□□□为四段?幂【寄左】然后以天元为幂四之为同数与左相消得下式□□□□□益积开三乘方得二百八十九步即皇极?也　欲见城径者别立天元半径副之加东行为勾加南行为股勾股各为幂并之与?幂相消开方得城径也

    又法以二行差一百一十九自乘得一万四千一百六十一为差幂以东行步乘之得二十二万六千五百七十六为泛率又自增乗得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为五乘方实倍东行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八为小泛以乘泛率又倍之得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六为从方并两行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二万五千九百五十二于上位以小泛幂一千四百五十万○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二万六千八百一十六为第一亷并两行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五万○○一十六为寄数倍二行差以乘差幂得三百三十七万零三百一十八内减寄数余二百二十二万零三百零二为第二亷六段二行差幂八万四千九百六十六内减二行并数幂二万二千八百一余六万二千一百六十五为第三益亷六之二行差七百一十四为第四益亷二步虚法得□?三十四步

    草曰立天元一为皇极?上股?差【即东行步上斜也亦谓□斜】以元加二行差得□□即明?也【此即皇极?上勾?差也】以天元乗之又倍之得□□□即皇极内黄方幂也【泛寄】置皇极?上勾?差以东行步乘之得□□以天元除之得□□为明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明?除不除寄为母便以此为□股于上【寄明?母】乃再置明勾以明?乘之得□□□亦为带分明勾加入上位得□□□即是一个虚?也以自增乘得下式□□□□□为一段虚?幂也内带明?幂分母【寄左】然后置明?以自之得丨□□为明?幂以乘泛寄得□□□□为同数与左相消得下式□□□□□□□开五乗方得三十四步为东行步上斜步也【即□?】其东行十六步即□勾也勾?各自为幂以相减余九百步开方得三十步即□股也既各得此数乃以股外容圆半法求圆径得二百四十步即城径也合问

    按此草又法求□?至开带纵五乘方法愈繁数愈赜而天元一之用愈见其妙苐所得带纵五乘方亷隅积数虽具而未习其法者不能信其数之必然今姑取已得之□?数按亷隅数推其积数以明其数之无可疑焉置五乘方数二以□?三十四乘之得六十八与四乘方数七百一十四相加得七百八十二又以□?乘之得二万六千五百八十八与三乘方数六万二千一百六十五相加得八万八千七百五十三又以□?乘之得三百零一万七千六百零二与立方数二百二十二万零三百零二相加得五百二十三万七千九百零四又以□?乘之得一亿七千八百零八万八千七百三十六内减所少平方数八千二百九十二万六千八百一十六余九千五百一十六万一千九百二十又以□?乘之得三十二亿三千五百五十万零五千二百八十内减所少元数十七亿二千五百六十万零二千八百一十六余十五亿零九百九十万零二千四百六十四又以□?乗之得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为积数与草中积数合【此即无次商带纵五乘方法】

    或问出东门一十六步有树出南门东行七十二步见之问答同前

    法曰二行步相减得数以自之于上又以出东门步自之减上位为平方实二之出南门东行步为益从一步常法翻开得半径

    草曰别得人到树即平?也半圆径即平股也其东行七十二步则平勾平?差也乃立天元一为半径加一十六减七十二得□□为勾也以自之得丨□□为勾幂又加入天元股幂得□□□为?幂【寄左】再立天元一为半径加出东门步得□□即?也以自之得丨□□为同数与左相消得□□□翻法开之得一百二十步即半城径也合问

    或问出南门一百三十五步有树出东门南行三十步见之问答同前

    法曰树去城步内减南行步余以为幂于上又以树去城步为幂内减上位为平实倍树去城步为从一虚隅翻法得半城径

    草曰别得人距树即髙?也半圆径即髙勾也其南行三十步即髙?上小差也乃立天元一为半径加树去城步为?内减小差□得□□即股也以自之得丨□□为股幂内... -->>
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