测圆海镜卷五

    元　李冶　撰

    大股一十八问

    或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前

    法曰倍二行差内减甲南行步复以乗甲南行步为实【倍二行差减甲南行步即是甲南行步内减二之乙南行也】四之甲南行步内减二之乙南行为从方四为益隅开平方得半径草曰立天元一为半径以二之加乙南行步得□□为中股以中股又减于甲南行步得□□为股率其天元半径即勾率也置甲南行为大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此为大勾【内?股率分母】再置天元以二之以股率乘之得□□减于大勾余□□为勾圆差于上【内有股率分母】又以二之天元减甲南行得□□为大差以乘上位得□□□为半段黄方幂【内寄股率分母】然后以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问

    或问乙出南门东行七十二步而止甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前

    法曰云数相乘为平实甲南行为从二益隅得半径草曰别得虚勾乗通股得半段圆径幂此与虚股乗通勾同立天元一为半径内减乙东行得□□为虚勾以乘甲南行得□□为半段径幂【寄左】再以天元为幂又倍之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问

    或问乙出东门直行一十六步甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

    法曰以乙东行乘甲南行幂为实二之乙东行乘甲行为从方亷空二步隅法得半径

    草曰立天元一以为半城径以二之加于乙东行得□□为勾率又以天元减甲南行得□□为股率乃置乙东行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此为小股此小股即半梯之头也【内带勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□为半径幂【内带勾率分母】寄左然后置天元幂以勾率通之得□□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问

    或问乙出东门南行三十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

    法曰二行步相乗为寳以南行为从一步常法得半径

    草曰立天元一为半径以减于甲南行得□□为半梯底以乙南行三十步为半梯头以乗之得□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得丨□□开平方得一百二十步即半城径也合问

    或问乙从艮隅南行一百五十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

    法曰二行步相乗为实并二行步为法得半径草曰立天元一为半径副置之上以减于乙南行得□□为半梯头下以减于甲南行得□□为半梯底上下相乗得丨□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消得下式□□上法下实如法而一得一百二十步倍之即城径也合问

    或问乙从艮隅东行八十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前

    法曰二行步相乘又倍之为实二之乙东行为从一步常法得全径

    草曰别得乙东行八十步即小差也立天元一为城径减于甲南行步得□□为大差以乙东行步乘之得□□又倍之得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

    或问南门东不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城防相直复就树斜行四百八步至树问答同前

    法曰南行步幂内减两段两行相乘数为实二之南行步为从一步益隅得城径

    草曰别得南行步内减城径即小股也其斜行步即小?也又二行相减即大差为股之勾也立天元一为圆径以减南行步得□□为股圆差也【合为小股】置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此为大?【内带小股分母】再置南行步以小股乗之得□□为大股【亦带小股分母】以大股减大?得□□为小差也合以大差乘之縁于内带大差分母更不湏乘便以为半段黄方幂【更无分母】又二之得□□为一段黄方幂【寄左】然后以天元幂为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问

    依前问假令乙出南门东行不知步数而立甲从干南行六百步望乙与城相直复就乙斜行四百八步【按此即前问以明又法】

    法曰二行差幂乗甲南行为实二之二行差以乗南行步为益方二之二行差为隅得半径

    草曰识别得二行相减即半城径与乙东行共也得此数更不须用斜立天元为半径减于二行差一百九十二得□□即半梯头也又以二天元减甲南行步得□□为股率又以一百九十二为勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此为大勾【内寄股率分母】再置天元以股率乘之得□□以减于大勾得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□为半城径幂【内寄股率分母】寄左然后以股率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问

    或问东门南不知逺近有树甲从干隅南行六百步见树复向树斜行五百一十步至树问答同前

    法曰二行差步乘甲南行步为实二行之差步并甲南行步为从二益隅【若欲从简上下俱折半】

    草曰别得二行相减数即虚积之股也立天元一为半径内减二行之差步得□□为梯头于上又以天元减于甲之南行步得□□为梯底上下相乗得□□□为圆径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问

    或问乙出东门直行不知步数而立甲从干隅南行六百步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相防问答同前

    法曰以二行步相减乘甲南行步得数又半之南行步以乘之为实以二行差乘南行步于上又以半之南行步乘南行步加于上为从方二之南行步为益亷一步常法得半径

    草曰别得二行相减即半径上勾股较【此股即半径也】又别得是大勾圆差不及平?数立天元一以为半城径以减南行步得□□为中股其斜行步即中?也乃立半城径以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此为平?【内带中股分母】又以二行步相减余五十六步为勾圆差不及平?数置此数以中股乗之得□□复以减平?余得□□为小差【内带中股分母】乃以二天元减甲南行步得□□为大差又半之得□□以乘小差得□□□为半径幂【寄左】然后以天元自乗又以中股通之得□□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十歩倍之即城径也合问【翻法在记】

    或问甲乙二人俱在干隅乙东行不知步数而立甲南行六百步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前

    法曰以二行差乘二行并开平方得数内复减二行差得全径

    草曰别得二行相减即勾圆差也先求大勾立天元一为大勾以二行相减余八十步以乘二行相并数一千二百八十步得□为勾幂开平方得三百二十步即大勾也大勾内减去勾圆差余二百四十步即城径也合问

    或问南门外不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城防相直复就树斜行二百五十五步至树问答同前

    法曰倍二行相减数内减甲南行得数复以乘甲南行为实倍二行相减数为从二步益隅得半径草曰识别得斜行步乃是树至城心之数也立天元一为半径加斜行步得□□为树至城北门之步也乃以减于甲南行得□□为小股率其天元半径即小勾率其斜步即小?数也再置甲南行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小股率得□□即梯头也复以乘上位得□□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得一百二十歩倍之即城径也合问

    或问东门外不知步数有槐树一株甲从干隅南行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了一千一百四十四步乙从艮隅东行望见槐树与城相直复斜行至槐树下乙自云我东行少不及斜行五十六步问答同前

    法曰甲斜行减于甲南行以乘甲南行得数复以乘二之甲南行为实半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行减于甲南行余复以乘甲南行又倍之加上位为从方二之甲南行为益亷五分隅法【按五分隅法即半个立方】

    草曰识别得五十六步是小差不及平?数【此小差即勾圆差也】又为平?上勾股差又为甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位减五十六步而半之得五百四十四步即今?也立天元一为圆径以半之减于甲南行步得□□为中股其斜行五百四十四步即中?也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此为平?【内寄中股分母】又置勾圆差不及平?数以中股乘之得□□复以减于平?□□为小差【内带小股分母】又以天元减甲南行倍之得□□为两个大差以乘小差得□□□为圆径幂【寄左】然后以中股乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问【翻法在记】

    或问出东门向南行不知步数有柳树一株甲从干隅南行六百步望见柳树而止乙出东门直行不知步数望柳树与甲相直却斜行三十四步至柳树下问答同前
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