测圆海镜卷三

    元　李冶　撰

    边股一十七问

    或问乙出东门南行不知歩数而止甲出西门南行四百八十歩望见乙复就乙行五百一十步与乙相防问答同前

    法曰倍相减步以乘二之甲南行步为平方实得城径

    草曰识别得二行相减余三十步即乙出东门南行步也倍相减步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五万七千六百步为平方实如法开之得二百四十步即城径也合问

    或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅东行八十步望见甲问答同前

    法曰倍南行步以东行步乘之为实东行歩为从方一步常法得全径

    草曰立天元一为全径以减于二之甲南行步得□□为两个大差也以乙东行步乘之得□□为圆径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得丨□□以带纵平方开之得二百四十步即城径也合问

    又法半之乙东行步乘南行步为实半之乙东行步为从一步常法得半径

    草曰立天元一为半城径减甲南行步得□□为大差也以半之东行步乘之得□□即半径幂【寄左】然后以天元幂为同数与左相消得丨□□开带纵平方得一百二十步倍之即城径也合问

    或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅亦南行一百五十步望见甲问答同前

    法曰两行步相乘为实南行步为从方一为隅得半径

    草曰立天元一为半城径以减乙南行步得□□为半梯头以甲行步为梯底以乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得丨□□开带纵平方得一百二十步倍之即城径也合问

    或问甲出西门南行四百八十步乙出东门直行一十六步望见甲问答同前

    法曰以四之东行步乗南行幂为实从空东行为亷一步为隅法得全径

    草曰立天元一为圆径加乙东行步得□□为中勾其甲南行即中股也置东行步为小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以为小股也【内寄中勾分母】乃复以中股乗之得三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂【寄中勾分母寄左】然后以天元径自之又以中勾乘之得□□为同数与左相消得丨□□□以?纵立方开之得二百四十步为城径也合问

    按不受除者无可除之理也凡二数此数于彼数有可除之理则受除无可除之理则不受除也盖除有法有实实可二法不可二此题以中勾为法而中勾内有一元又有十六步其为数已二矣又何以均分不一之数乎故曰不受也寄分者姑寄其应除之数也俟求得两相等数而此数内尚少一除不除此而转乘彼则两数仍相等犹之受除者也此所谓以乘代除也

    或问乙出南门东行七十二步而止甲出西门南行四百八十步望乙与城防相直问答同前

    法曰以乙东行幂乗甲南行为实乙东行幂为从方甲南行步内减二之东行步为益亷一步常法得半径

    草曰立天元一为半城径以减南行步得□□为小股又以天元加乙东行步得□□为小勾又以天元加南行步得□□为大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以为大勾【内寄小股分母】又置天元半径以分母小股乘之得□□以减大勾得□□□为半个梯底于上以乙东行七十二步为半个梯头以乘上位得□□□为半径幂【内寄小股分母】寄左然后置天元幂又以分母小股乘之得□□□为同数与左相消得□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问

    又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半径

    草曰别得二数相并为大股内少一虚勾其二数相减为大差?也立天元一为半径副置之上位减于四百八十得□□为股圆差【即大差股也】下位加七十二得□□与股圆差相乘得下式□□□为一大差积【寄左】再以大差勾减于大差股余□□为较又加入大差?四百单八共得□□为?较共也以天元乘之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步即半径合问　前法太烦故又立此法以就简也

    或问乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望见乙与城防相直又就乙行四百零八步与乙相防问答同前

    法曰二行步相减以乘甲南行步为实甲东行步内减相减步为益方一步常法得半径

    草曰识别得二行相减余七十二步即是乙出南门东行数也更不湏用?遂立天元一为半城径加乙东行得□□为小勾也副置南行步上减天乙得□□为小股下加天元得□□为大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此为大勾也【内带小股分母】又倍天元以小股乘之得下式□□以减于大勾得□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁此勾圆差内已带小股分母【小股即股圆差也】更不湏乘便以此为半段黄方幂【更无分母也】寄左乃以天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

    或问乙出东门直行不知歩数而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相会问答同前

    法曰半南行步减半斜行步以乘南行步为实从方空半斜行半南行相减得数加入南行步为隅法得半径

    草曰识别得二行相减余六十四步即半径为股之勾也立天元为半径就以为小股其二行相减余六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□为大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□为大勾又倍天元一减之得下式□□□为勾圆差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

    按此问以小股为除法盖因小股只一天元其数不二犹有可除之理也然得数降于实数之下者皆不可以命名至开方时仍湏各升一位以计之是两边各加一乘犹是寄分之理也

    又法以二数差乘二数并开方得边勾复以边股乘之为实并二数而半之为法实如法得二百四十步即城径【此盖用前勾上容圆法也】

    或问乙从干地东行不知几步而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相防问答同前

    法曰并二行数以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行差为从方二步常法得半径草曰识别得二行相减余二百步即半圆径与小差勾之共数也立天元一为半城径加于二百步得□□为大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□为勾幂【寄左】乃置乙斜行六百八十步为大?加入大股共得□□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即股?较以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问

    又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减八之于上二之南行步内减二之二行相减数又以加上位为益方二步常法

    草曰立天元一为小差减二行差得□□为半城径以自之得丨□□又四之得□□□为圆径幂【寄左】然后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左相消得下式□□□以平方开之得八十步为小差也

    或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城防相直复就乙斜行二百五十五步与乙相防问答同前

    法曰甲南行内减二之两行差余以乘甲南行又倍之为实二步为隅得半径

    草曰别得二行步相减余二百二十五步乃是半径为勾之股也立天元一为半城径就以为小勾率其二行差二百二十五步即为小股率乃置甲南行步加入天元得□□为大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除【按此所谓不受除乃其数竒零不能尽非无可除之理也与前辞同而意异】便以此为大勾【内寄小股分母】乃倍天元以小股乘之得□以减大勾余丨□为一个小差于上【内寄小股分母】乃以天元减甲南行步得□□为大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□为圆径幂【内寄小股分母】寄左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同数与左相消得□○□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
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