测圆海镜卷十一

    元　李冶　撰

    杂糅一十八问

    或问城南有槐树一株城东有柳树一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐柳悉与城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳树下甲就槐行四百二十五步至槐树下问答同前

    法曰甲就步自之于上以二行相减数自之减上位为实二之二行相减数并入二之甲就步为从一步常法得平?

    草曰别得丙就步为边?也甲就步为底?也边?即皇?髙?共也底?即皇?平?共也二行相并即大?皇?共也二行相减即皇极勾股较也倍皇?以减于大?余即虚?也倍皇?内减边?余即叀?也倍皇?内减底?余即明?也皇极?加一差【按一差即皇极勾股较】则大差?也内减一差则小差?也立天元一为平?加一皇极勾股差得□□即髙?也髙?自之得丨□□内加天元幂得□□□为皇?幂【寄左】然后以天元减底?得下式□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十六步即平?也余各依法求之合问

    或问出南门东行有槐树一株甲出北门东行斜望槐树与城相直就槐树行二百七十二步出东门南行有柳树一株丙出西门南行斜望柳树与城相直就柳树行五百一十步问答同前

    法曰云数相并而半之以自乘于上半丙斜行以为幂半甲斜行以为幂并二幂减上位为实并云数为益从一步平隅得虚?

    草曰别得丙斜行为黄广?也亦为两个髙?也此勾则城径也甲斜行即黄长?也亦为两个平?也此股则城径也二数相并得□即大?虚?共也二数相减余□即两个皇极差也二数相并而半之得□即皇极和也立天元一为虚?以减于皇极和得□□即皇极?也以自之得丨□□为皇?幂【寄左】然后以髙?自之得□以平?自之得□二自乘数相并得□与左相消得□□□开平方得一百二即虚?也合问

    或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅南行一百五十步望见甲复斜行五百一十步与甲相防问答同前

    法曰斜行自之于上倍南行减斜余自之以减上为实倍南行减斜又四之为从八步常法平方得半径草曰别得南行即小差股斜行即黄广?也小差股内减半径余即半个黄广积上股?差也全径即其勾也立天元一为半城径减于乙南行倍之得□□即一个黄广即上股?差也以减于斜行步余□□即股也自之得□□□为股幂也又倍天元以自之得□□为大勾幂加入大股幂得□□□【寄左】然后以斜行幂□与寄左相消得下式□□□开平方得一百二十步即半径也合问

    或问乙从艮隅东行不知逺近而止甲从坤隅东行一百九十二步望见乙复斜行二百七十二步与乙相防问答同前

    法曰倍东行减斜行得数自为幂以减于斜行幂为平实倍东行减斜行又四之为从八益隅翻法开平方得半径

    草曰别得甲东行即大差勾也斜行则黄长?也大差勾内减半径余即半个黄长积上勾?差也全径即其股也立天元一为半径减于东行倍之得□□即一个黄长积上勾?差也以减于斜行步得□□即黄长勾也以自之得□□□为勾幂于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□为?幂【寄左】然后以斜行幂□为同数与左相消得□□□平开得一百二十步即半城径也合问

    或问甲从坤东行一百九十二步丙从艮南行一百五十步望见之问答同前

    法曰二行相乘倍之为平实如法得圆径

    草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二数相乘恰与大小差相乘正同如法相乘讫倍之得□为圆径幂【寄左】然然立天元为圆径以自之与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问

    又法以二行相减数减于二行相并数余者半之于上复以二行相减数加于上即城径

    草曰别得甲东行减于径为虚勾也丙南行减于径为虚股也二行共为一径一虚?共也二行相减即虚和也以相并数相减数又相减即两个虚?也如法求得虚和□虚?□相并得□即城径也合问按又法未合盖以二行相减为虚较而草中误以为虚和也其义甚浅非难知者是殆偶尔之遗忘然亦可以决其为当日未定之稿矣

    或问出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四步望塔正当城径之半问答同前

    法曰二行相乘为平实一步常法得半径

    草曰别得二百二十五步为髙股此乃半径为勾之股也其六十四步为平勾此乃半径为股之勾也二数相并即太极?也二数相减即中差内去皇极差也又别得二行相乘恰是半径幂一段此与半梯头相乘其意正同今且以?上容圆取之立天元一为半径副之上加南行得□□为股也下加东行步得□□为勾也勾股相乘得丨□□为大直积以天元半径除之得□□□为勾股和【寄左】然后并勾股得□□与左相消得丨○□开平方得一百二十步即半径也合问

    或问丙从干隅南行丁从艮隅亦南行甲从干隅东行乙从坤隅亦东行各不知步数四人悉与城相直只云丙行内减丁行余四百五十步甲行内减乙行余一百二十八步问答同前

    法曰二行相乘为实一步常法得城径

    草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄广股其□即黄长之勾也立天元一为城径先置黄广股□为股方差以□为勾方差以乘之得□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式丨□□开平方得二百四步合问

    或问出南门东行有槐树一株出东门南行有柳树一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直东行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直东行四人遥相望见只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步问答同前

    法曰云数相乘为实二数相减又半之为法得城径草曰别得□即大差勾股较也其□即小差上勾股较也二数相并为大差?内减小差?也二数相较又半之皇极?与城径差也二数相并而半之即皇极差也立天元一为圆径二云相减数又半之加天元得□□为极?也并二数而半之得□为极差也副置极?上位加极差得□□为?较和也下位内减极差得□□为?较较也上下相乘得丨□□为二直积【寄左】然后以天元一乘极?得下式丨□为同数与左相消得□□上法下实而一得二百四十步即城径也合问

    或问甲从坤东行丙从艮南行适相见斜行一百二步甲丙相防丙云我南行不及汝四十二步问答同前法曰二数相并以斜行乘于上二数相并而半之以乘相并数减上位为平实不及步为从一步常法得虚勾

    草曰别得一百二步即虚?四十二步即虚较也又斜行得虚股为乙东行此便为大差勾也斜行步得虚勾为丙东行此便是小差股也立天元一为虚勾加斜行步得□□为小差股也以不及步加于小差股得下式□□为大差勾也勾股相乘得丨□□为半段黄方幂【寄左】然后再置虚勾加不及步得□□为虚股又加入天元得□□为虚和又加入虚?得□□为圆径以自之得□□□又半之得□□□与寄左相消得丨□□平方开得四十八步即虚勾也合问

    或问甲从城心东行丙从城心南行庚从巽隅西行壬从巽隅北行四人遥相望见各不知步数只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八问答同前

    法曰云数相乘为实相并为法得虚?

    草曰别得甲丙共为皇极和也又为极?极黄共庚壬共为太虚和也又为虚?虚黄共立天元一为皇极黄方靣【亦为虚?也】减于甲丙共得□□即极?也又以天元减于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘极?得丨□□【寄左】然后以天元幂与左相消得□□上法下实如法得一百二步即皇极黄方靣也合问【按此亦系相消后得一边之二数者】

    或问甲从干隅东行不知步数而止丙向南行亦不知步数望见甲就甲斜行七百八十步与甲相防甲云我行地虽少于汝以我东行步为法除汝南行步则汝止得二步四分问答同前

    法曰斜步自之为平实除步自之又加一步为隅得甲东行

    草曰此问所求城径与诸问并同其勾股则与前后诸率不同今特为此草者欲使后学有以考较诸率当否也立天元一为甲东行【即大勾】以乗二步四分得□为长以自之得□□为股幂又并入天元幂得□□为?幂【寄左】乃以斜行自之得□为同数与左相消得□□□开平方得三百即甲东行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙东行以甲东行乘之得四十三万二千为实以三事和一千八百为法除之得二百四十步即城径也合问

    或问小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇极黄方靣六十六步问答同前... -->>
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