卷十三

    钦定四库全书

    周易函书约存卷十三　　礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分????】

    异乘同除法【泰西谓之三率】

    以先有之数知今有之数两两相得是生此例莫善於异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故泰西谓之三率异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟同名布与粟为异名矣

    何以为异乘同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乘是谓异乘若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先冇之二件乘除之也】

    原价与今物异名以乘原物与今物同名以除泰西以原物为一率原价为二率今有物为三率以二率乘三率而以一率除之即得四率

    问何以不先除後乘曰以原总物除原物总价则得每物之价以乘今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乘故变为先乘後除其理一也

    三率法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与後两率之比例等故其数可以互求

    【今有之二率先只冇其一合前有之二率共为三率以求之而得今冇之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】

    假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】

    若互用之以四率为一率三为二率则十二为三率九为四率盖十二与九之比例若四与三也

    【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是】

    若倒用之十二为一率九为二率则四为三率三为四率

    若以九为一率十二为二率则三为四率四为三率【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四】

    若错综之三为一率九为二率四为三率则十二为四率

    若以九为一率三为二率十二为三率则四为四率若以十二为一率四为二率九为三率则三为四率若以四为一率十二为二率三为三率则九为四率此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为後两率之第一而比例亦等【在前图为三与四若九与十二者此图则三与九亦若四与十二也】

    若以一率除二率得数以乘三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乘三率三亦得四率九但先除後乘多有不尽之分故异乘同除为算家大法乃中西两术所同也】

    笔算并法

    并法即加法也千与千并百与百并俱从小数始自下而上

    笔算减法

    亦千与千并百与百并亦从小数始自下而上本位不足减借上位一数以减之

    试加差法【凡加皆自下小数起】

    有九减七减二法凡九减不论单十百千之位亦不计○位只据现有之数而合计之以九除之余者存之列于右次减总数以九除之余者存之列于左两余相比同则无差

    七减有二法俱论位俱由大数以至小数一法以所加之数分积之凡首数皆作几十以七减之存其余合下数便作几十几如下有○位则此所余之数便作几十以七减之存其余方合三位之数作几十几以七减之若其末有○位不可以其余便为余数亦须作几十之数七减之其余方为所余之数记于右又从首减二行之加数以其余亦记于右又从首减三行之加数以其余亦记于右若所加之数止于三行则以三行所得之数合而七减之存其余列于右然後减总数亦自大数以至小数其○位亦如前法两余相比同则无差一法以所加之数合积之万与万积为一处以七减之以其余并千位之数减毕以其余合百位之数凡所余之数俱作十减至末位止以其余列于右中有○位皆不论矣然後如前减其所得总数相合则无差矣

    试减差法【凡减皆自下小数起】

    一法以减数并减余数仍得原数

    一法以减余之数于原数中减之即得所减之数亦有九减七减二法九减法以减数并减余之数合而九减之以其所余者列于右次并原数亦合而九减之以其余列于左两余相比同则无误【盖必用减数减余二者然後能与原数配也】

    七减法先以减数从大数始如前七减之法有○位则所余之数亦作十数视其所余者列于右然後以减余之数亦如前七减之法由大数而始递降而七减之亦列于右然後并二者之余数合为一处如过七数仍以七减之不及则并其余列于右次以原数亦如前七减之法由大数而始以七减之存其余列于左两余相比同则无误【如得数原数下冇三○则亦三余而止不可及于四余】

    试乘差法【凡乘之实数由尾而起乘之法数由大者而起】

    亦有九减七减二法九减法先以实数积而九减之而纪其余于右次以法数如法九减之而纪其余于左再以左右两减之余相乘得数仍九减之而纪其余于上末以所得之数亦九减之而纪其余于下两余相比同则无误若左右二方内有○即上方亦○又或左为一数即上数亦同右数皆不用乘　七减亦然【几曰十者在本位余者便在第二位】

    试除差法

    亦用九减七减二法九减得数记余于左法数记余于右得数与法数相乘记余于上然後以原数九减之记于下而合之

    七减法先以除数【即法数】如法减之列于左次以得数如法减之列于右次以除数得数之余相乘而减之列于上然後以原数如法减之列于下两数相同知其无悞若使得数除之不尽尚有余数未除则于两数相乘之时合并所余之数而减之

    试加差法

    九减式试第一式先减散数去○与九不入减【□本不入

    数九在减内故不入】并四七【此处除九】五

    八八六七八八六一五共

    为七十三九减余一【减去八九七十二】列

    □左○次并总数三二七七共为

    一十九九减余一【减去二九一十八】列□右左右相比数同无差通曰此以见数为主不论千百位也

    七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余

    三次作

    三十六

    七减余一【减五

    七三十五】次作一

    十五七减余一【减二七一十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三【三行余五四行余五】三行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三【此合数也】七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差

    试减差法

    九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共

    为一十五九减余六次并原数

    二七一五为一十五九减余六

    左右列比无差

    通曰九减用实积数亦可盖九数无往

    不合故也【此二七一五减四二者】

    七减式试第一式先以减数之左四○作四十七灭余

    五次作五十二七减余三

    又以减余之左二三作二

    十三七减余二次作二十一七

    减无余次三不足减仍余三【不足】

    【在末不必作十】三俱纪右下乃以各数纪余之三三并为六不足减仍作六再以原数之左二七作二十七七减余六次作六十一七减余五次作五十五七减余六左右列比无差【此二七一五减四二者】

    补乘法

    术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法数】齐於右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数於下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首为何数从乘数左首推至总数左首即知

    通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如某下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也

    十因

    式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及於乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一於九右八在十内少二纪二於八右是九八为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一

    不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二【此即七十二之二也呼一二如二】纪下二未满十故曰未满十乘数也又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数【此即七十二之七】同下纪七故得七十二

    又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及於乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相乘得四下纪四左右上下斜减俱余六

    下纪六故得六十四

    又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过於乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内小七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九纪四於左左上下三各加所?四俱变

    为七然後左右斜减俱无余【七与七减也】下纪○故得九

    又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及於乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二?一於左左上七加一变为八下六加一变为七然後左右上下

    斜减俱余四下纪四故得四十二又术三乘四得一十二将一悬於左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合

    通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎【卜因即洛书之无十而藏十也】

    试乘差法

    九减式试第二式四千六百零八人每人三百二十五两共得一百四十九万七千六百两也除○九外并原

    数四六八为一十八九减无余

    列○於□左并乘数三二五为一十九减余一列□右以左右一与○乘

    曰一○如○无数列○於□上并总数一四七六为一十八九减无余列○於□下上下相比无差

    七减式试第四式四十五人每人六十两共得二千七

    百两原数如法减之【减六七四十二】余

    三列□左乘数如法减之【减七八五】

    【十六】余四列□右以左右三四乘得一十二七减余五列上总数如法减之余五

    列下上下相比无差

    通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐位减至右未而止也

    试除差法

    除无余九减式试第一式三百四十二两九人分之各

    得三十八两除数九九减无余

    左列○并用数三八为一十一

    九减余二右列二乘无数列○於□上

    并原数三四二为九九减无余列○於□下上下相比无差【下有余实一五未分】

    除有余九减式试第五式六百五十三两五十八人分

    之各得一十一两并除数

    五八为一十三九减余四

    左列四并用数一一为二不足九

    减右即列二乘得八【二四如八也】又并余实一五为一十四九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差

    除无余七减式试第一式三百四十二两九人分之各

    得三十八两除数九作九七减

    余二列左用数三八作二十八

    七减余三列右乘得六【二三如六】不足七减

    即列六於上原数三四作三十四七减余六次作六十二七减余六列下上下相比无差

    除有余七减式试第五式六百五十三两五十八人分

    之各得一十一两除数五

    八作五十八七减余二列

    左用数一一作一十一七减余四

    列右乘得八【二四如八】又以余实一五作一十五七减余一以此余一并左右所乘八为九七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列上原数六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差

    半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实

    二一三○用九减并除数六

    五为一十一九减余二列左

    又并用数一三为四不足九

    减右即列四乘得八乃并法

    尾止处以前之余实二一为三不足九

    减即以此三并左右所乘八为一十一九减余二列上并原数抹去三位之八六六为二十九减余二列下上下相比无差○用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抹去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差

    通曰试策之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始於一终於九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者於率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余用八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉

    命分法

    术曰命分者一大几何已分几何命余者为几何分之几何也又曰所余之小几何再分几何命此得者为几何分之几何也通曰第一术即几何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也

    式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先於六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

    尺算

    法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不移如此乃可为法

    两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺於法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也天地间无非参两之妙虽百千万亿至於无穷胥莫能逃矣

    乘法

    先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又须预定然後将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也通变升降其用始广如实尺数大不便安放者须降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必须俱折先降後升先半後倍得数原无异也或用升法以代降实

    式有五人每人四两问共若干曰二十两

    以四两为四分作实数以五人为五寸作法数将实尺比定四分横安于法尺一寸空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十知所得二寸为二十两

    降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两

    以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一小不可安放乃降十倍安於法尽一寸空处量法尺五寸九分空处得四寸七分二力先降後升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得四百七十二两此系升法以代降实

    实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十

    以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分原以分为两是为四十八两先半後倍倍得九十六两也

    法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若十曰一百九十二两

    以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两因法实俱折半故再倍之也

    实数再折式八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两

    以八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半为六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六再倍之得一百九十二再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦可

    法实俱再折式三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两

    以三十二人折半得一十六人又折半得八人作八寸为法以二十四两折半得一十二两又折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乘四十八亦合

    整零截量式二十四人每人五钱三分问共若干曰一十三两七钱二分

    以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之将实尺比定五分三厘安于法尺一分空处实大不便安顿降之安于法尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也後截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数因以尺之厘为银之分故知为十二两七钱二分

    又术以二十四人作法尺二尺四寸以五钱三分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分为二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合所截为二十人故加倍若三十人则用三乘四十人则用四乘之

    除法

    法实数定之後将实尺比定实数安于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何即为所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分量之

    式银二十二两四十人分之问各得银若干曰五钱五分

    以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四分为法将实尺比定二寸二分安于法尺四寸四分空处乃量法尺之一分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也　量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
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